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沾水之后的两片玻璃为何很难分开?

来源:贾明子 浏览 165 次 发布时间:2022-07-19

表面张力,我们简单形象地理解,可以认为流体的两相(如气液)界面就像是一张紧绷的皮膜,这张膜在外力的约束下,总是希望尽可能地收缩。沿着它的表面就有一种张力,就是表面张力。今天来说一个和表面张力息息相关的现象。


「沾水之后的两片玻璃为何很难分开?」


这是一个非常典型的「看似很简单,其实很复杂」的问题。流行的科普(甚至中学物理课上)上似乎讲的很清楚,但是其实真正的原因并没有讲明白。


流行科普上讲,由于玻璃之间充满了水,它们之间没有空气,因而靠大气压就可以把它们紧密地挤压在一起。如下图所示:

但是这个答案其实并不正确,或者说并不准确。


因为我们知道,水也是满足帕斯卡原理的。大气压并不仅仅是作用在玻璃表面的,玻璃中间的水也与大气有接触,因而大气压也会作用在缝隙中的水上的。由帕斯卡原理,外界的大气压力是可以经由水传递到玻璃间隙之中的。


所以仅仅是有水的填充,玻璃不会「被大气压挤压在一起」。我们可以用下面的局部放大图来说明这种情况:

也就是说,由于帕斯卡原理,缝隙中的水也会将大气压传递到两片玻璃的缝隙内部。大气压的作用效果并非是「向内」挤压两片玻璃,因为在缝隙内部同样存在着压力。


说到底,液体和气体对大气压的传递是相同的,因此单纯从压力的传递来讲,玻璃片中间有水还是没有水并不会产生不同的效果。


这里的真实原因,其实是表面张力与大气压的共同作用。


简言之,上面的图稍微有点错误:水和大气的界面不是平的,而应该是一个凹液面。而恰恰是这个凹液面,导致了完全不同的结果。具体讲,就是使得液体内部的压力低于外部的大气压力。

而这里的罪魁祸首,就是表面张力。


表面张力,我们简单形象地理解,可以认为流体的两相(如气液)界面就像是一张紧绷的皮膜,这张膜在外力的约束下,总是希望尽可能地收缩。沿着它的表面就有一种张力,就是表面张力。


如果你想用最形象的方式理解表面张力,你可以想象一个吹起来的气球的表面:气球的弹力使它尽量收缩从而整体形成球形。相对应地,水滴的表面张力使它尽量收缩从而形成球形。

而这里有一件非常关键的事请,就是由于表面张力的存在,弯曲的表面就会在两侧形成压力差。


比如说,无重力液滴是一个球形。我们对一个这样的液滴的上半球做一个受力分析,它受到三个力的作用:


1.下半球在截面上对它的净压力;


2.外部在上半球面上对它的净压力


3.液滴表面受到的沿表面垂直于「断面」的表面张力。

我们很容易就会看到,由于表面张力的存在,此时内部的压力肯定要大于外部压力。其实这个很容易理解:一个气球就是典型内部压力大于外部压力的例子,这种压力差,就是有张力的皮膜形成的。那么,这种压力差的大小是由什么决定的呢?


很显然,一个决定因素就是张力的大小:皮膜绷的越紧,所能产生的压力差就越大。但是还有另一个很重要的因素,就是表面弯曲的程度,也就是它的曲率。我们还是用气球做一个说明,例如下面这个气球:

气球内部的气体压力处处相等,因此,气球内外的压差是一个常数。但是,接触过这种气球的人都有一个经验,就是粗的地方绷得紧,而细的地方绷得就不那么紧。也就是说,在起球不同的地方,皮膜的张力是不同的,如上图所示。那么问题就来了,绷得紧的地方和绷得松的地方,产生的压力差却是相等的,这是为何?


原因是,在绷得紧和绷得松的地方,皮膜的曲率是不相等的:曲率越大,同样的张力所能产生的压力差就更大;曲率越小,同样的张力产生的压力差就越小。反过来说,如果产生同样的压力差,曲率大的地方,所需要的张力就越小(在气球细的地方,皮膜就松)。反之亦然(在气球粗的地方皮膜就紧)。


我们有一个公式可以表示这个关系,叫做杨-拉普拉斯方程(Young-Laplace equation):


其中,γ是表面张力,R1和R2分别是两个方向上的曲率半径。


现在,我们可以来分析一下沾水的玻璃为何很难分开了。


首先,我们知道,液体与固体界面相接触,都会形成一个接触角。接触角也是表面张力的性质之一,这里我就不展开说了。接触角小于90°的,被称作浸润(如水对玻璃就是浸润的),大于90°的,叫做不浸润(如水银对玻璃就是不浸润的)。

在两片玻璃之间,形成的凹液面就是因为这个接触角的原因:

我们看到,这个凹液面就形成了一个「反向」的紧绷的膜。就像是气球一个道理,这种曲面的膜,由于表面张力的原因,就会使得液体的压力P小于外部大气压P0。因而把玻璃挤压在一起的力,就不是P0而是P0-P。


我们可以想象,当两片玻璃间隙非常小的时候,这个凹液面的曲率就会非常大,在这个时候,液体压力与大气压的差就会很大,因此把玻璃挤压在一起的力也就很大。我们可以用杨-拉普拉斯公式来估算一下。

这个凹液面沿着我们切面的视角上的曲率半径是(假设玻璃的间隙为d):


因此,根据杨-拉普拉斯方程(我们假设液膜面积尺度远大于间隙尺度),这个凹液面所产生的液体内部与大气之间的压力差为:


请注意,这里形成的压力差是负值。


已知我们做能做的最好的玻璃面,其表面粗糙度仅有纳米级。而普通玻璃,也只有零点几到零点零几微米的尺度。因此两片玻璃之间的缝隙,显然不是由粗糙度决定的。


对于面积比较小的玻璃(翘曲忽略不计),这里考虑的是表面清洁度:也就是说,由于玻璃表面的污渍存在,会使得两片玻璃表面不能严密贴合。一般10微米以上的灰尘我们肉眼都是能看见的,而在这之下就很难看到,2微米之下就无法看到了。所以我这里假设我们一般对玻璃表面清洁会留有10微米基本的污渍,也就是说,两片(面积不大的)玻璃的缝隙数量级在5微米左右。


常温下水的表面张力大约为0.073N/m。水在普通玻璃上的接触角大约为30°左右。因此,对于贴合较好的两片玻璃片,很容易计算出这个液膜内部的压力与大气压的压力差为25Kpa–大约为大气压的1/4左右。


也就是说,液膜内部压力比大气压小25Kpa。对于这样10cm2的两片玻璃,如果我们用一点水把它「沾」在一起,我们需要大约250N的力才能掰开–虽然很难,但是如果有抓手的话还是有可能的。


但是如果是按照流行科普的说法(液膜排出空气导致玻璃间隙压力为零),我们所需要1000N的力才能掰开,这个就不太可能了。


我们可以做一个实验,来验证这个解释。我做了这样一个动图:

我们可以看到,两片玻璃被水沾在一起后,还是相当牢固的。

但是当我们向着玻璃缝隙滴几滴水,哪怕只是很少的几滴,它们之间就不再牢固了,随着水的不断滴入,最后就不可避免地分开了。这是因为滴入水不断进入缝隙,最后就会破坏掉前面所述的曲率很大的液面,导致液体压力与外界气压的差迅速降低,于是它们就无法继续沾在一起了。这个过程可以图示如下:

所以说,单纯从「液体占据了缝隙因此内部没有气体」并不能解释玻璃为何能沾在一起。这里面表面张力以及其引发的压力差(杨-拉普拉斯方程)才是关键因素。


这个估算做了很多简化。事实上这里水的凹液面并非是一个严格的弧面,而是随着玻片受力的不同而变化的复杂曲面,需要用流体力学原理和杨-拉普拉斯方程求解,这是高度非线性的复杂偏微分方程。


所以说,这是一个看似简单,但是计算起来极其复杂的现象,并且可以引出更加复杂的理论探讨。